سایت تخصصی آموزش و تدریس ریاضی

نظریه نقطه ثابت-قسمت اول

مساله نقطه ثابت از موضوعات قدیمی ریاضیات در قرن بیستم می‌باشد به طوری که در آنالیز تابعی چندین شاخه برای نقطه ثابت وجود دارد که عبارتند از: شاخه متری و انقباض‌ها در این فضا، شاخه توپولوژیکی و نظریه نقطه ثابت برای نگاشت‌های تک‌مقداری و چندمقداری، شاخه آنالیزی نقطه ثابت در فضاهای نرمدار و فضاهای باناخ،  شاخه بین آنالیز و توپولوژی شامل قضایای نقطه ثابت در نیم‌گروه‌های غیرخطی و خاصیت نقطه ثابت در جبرهای باناخ و فوریه، شاخه متریک مخروطی، شاخه نوع متریک و نوع متریک مخروطی و قضایای نقطه ثابت در آن که خود به چند زیربخش تقسیم می‌شود. در فضاهای متریک، باناخ برای اولین بار مفهوم انقباض را مطرح و قضیه نقطه ثابت معروف خود را که بعدها به اصل نقطه ثابت باناخ معروف شد اثبات نمود. بعد از آن افراد مختلف تعاریف متفاوتی از انقباض‌ها ارائه و قضایایی درباره نقطه ثابت ارائه و مطرح نمودند. در آنالیز تابعی غیرخطی، سه پایه اساسی برای قضایای نقطه ثابت توپولوژیکی وجود دارد یکی قضیه نقطه ثابت فان و براور است که می‌گوید یک خودنگاشت مجموعه مقدار در یک فضای توپولوژیک برداری هاسدورف، فشرده و محدب حداقل یک نقطه ثابت دارد اگر نگاشت مجموعه مقدار دارای مقادیر معکوس باز باشد. دومی قضیه نقطه ثابت فان و گلیسبرگ است که می‌گوید یک خودنگاشت مجموعه مقدار نیم‌پیوسته بالایی در یک زیرمجموعه محدب فشرده از یک فضای توپولوژیک برداری موضعا محدب هاسدورف حداقل یک نقطه ثابت دارد. سومی قضیه نقطه ثابت هیملبرگ می‌باشد که می‌گوید هر نگاشت مجموعه مقدار نیم‌پیوسته بالایی  فشرده T با مقادیر بسته ناتهی از یک زیرمجموعه محدب ناتهی X از فضای توپولوژیکال موضعا محدب به توی خودش یک نقطه ثابت دارد. بعد از این قضایای نقطه ثابت دیگری در حالت‌های مختلف مطرح و اثبات شد. در شاخه آنالیزی و بین گرایش‌ها نیز طیف وسیعی از قضایای نقطه ثابت بیان و اثبات شده است. اما بحث یک دهه اخیر نقطه ثابت در فضای متریک مخروطی می‌باشد که برای اولین بار در سال ۲۰۰۷ توسط هیوانگ مطرح شد. درادامه مشابه حالت متری و توپولوژیکی، قضایا به فضای متریک مخروطی انتقال داده شده اند. از سال ۱۹۹۰ به بعد نیز دو فضای جدید به این فضای متریک اضافه گردیدند. یکی فضای -bمتریک یا همان نوع متریک است که در ابتدا سال ۱۹۸۹ تعریف گردید و در سال ۲۰۱۰ توسط خمسی و همکارانش گسترش یافت. دیگری فضای نوع متریک مخروطی می‌باشد که توط رادنویچ و کادلبرگ مطرح گردیده است. به طور کلی، امروزه نظریه نقطه ثابت در آنالیز محض در همه شاخه‌های بالا در حال توسعه است و در کنار جنبه محضی آن، عده‌ای از محققان در زمینه علوم فنی مهندسی و کاربردها دستی بر تحقیق و گسترش این نظریه برداشته اند. اما چالش مهمی که در حال حاضر گریبان این نظریه را گرفته است پیشی گرفتن نتایج محض از کاربردی می‌باشد به طوری که اکثر مراکز تحقیقاتی و مجلات علمی تنها موضوعاتی را مورد قبول می‌دانند که همراه با کاربردهای غیر بدیهی از این موضوع بوده یا نتایج محضی را در برداشته باشد که چشمگیر و جذاب برای خوانندگان باشد و راه جدیدی را در  آنالیز و توپولوژی برای سایر علوم باز نماید.

 

برای اشاره به اهمیت این زمینه کاری، کاربرد آن در ریاضیات کاربردی و علوم فنی- مهندسی در فهرست زیر مطرح شده است:

الف) وجود مفاهیم جواب در نظریه بازی و اقتصاد

ب) معادلات انتگرالی غیرخطی و معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی (اثبات قضایای وجود و یکتایی)

ج) اثبات همگرایی الگوریتم ها (پایداری روش تکرار پیکارد، روش نیوتن و …)

د) محاسبات مربوط به میدان مغناطیسی در طیف‌های غیرخطی

ه) معادلات جبری خطی و محاسبه خطاها در آنالیز عددی

و) سیستم کنترل غیرخطی و معادلات دیفرانسیل غیرخطی در فضاهای باناخ

ی) حل مسائل معکوس، مسائل مربوط به بهینه سازی و در درخت‌های متری که خود زمینه تحقیقات وسیعی در نظریه گروه‌ها و گراف، زیست‌شناسی، داروسازی و علوم کامپیوتر می‌باشد.

 

سوابق مطالعاتی در این زمینه به شرح زیر است.

الف) تعاریف، ویژگی‌ها و قضایای مربوط به فضای متریک که از قرن نوزدهم آغاز شده است و مباحث توپولوژی و قضایای در این زمینه که این موضوع نیز در قرن بیستم مطرح شده است.

ب) نظریه نقطه ثابت در فضاهای متریک (مباحث قدیمی)

  1. قضیه نقطه ثابت براور در R (1912-1908)
  2. اصل انقباض باناخ ۱۹۲۲
  3. اصول انقباض کنان، جاترچی و هاردی و روگرز (۱۹۷۳-۱۹۶۸)
  4. عملگر زامفریسکی ۱۹۷۲و ۱۹۷۳
  5. سایر انقباض‌ها که توسط راکتوچ، ادلستین، بیانچینی، ریچ، سریچ، ینگ و نادلر مطرح شده است (۱۹۷۵-۱۹۶۵)
  6.   موضوعات جدید برای نقطه ثابت در فضای متریک که توسط عباس، رودز، خمسی، امینی، عبدالجواد، کرک، جانک، جونگ، سینگ، سمیس، رادنویچ، اگاروال، ادیبی، زعفرانی، آذم، وترو، صامت، فرجزاده، ساها، سوزوکی، ژائو و … ارائه گردیده است (۲۰۱۱-۱۹۷۵)

ج) نظریه نقطه ثابت در فضاهای توپولوژیک

  1. قضیه نقطه ثابت کاکتونی که تعمیمی از قضیه نقطه ثابت براور به نگاشت‌ مجموعه مقدار است ۱۹۴۱
  2. تعمیم‌هایی از قضایای کاکتونی و براور توسط داگوندجی و کلی (۱۹۵۳-۱۹۵۱)
  3. قضیه نقطه ثابت شاودر برای نگاشت‌های انقباضی ۱۹۳۰
  4. تیخونف نیز قضیه نقطه ثابت براور را برای زیرمجموعه محدب فشرده از فضای موضعا محدب بدست آورد ۱۹۳۵
  5. تعمیم قضیه شاودر توط کارلین ۱۹۵۰
  6. اصل نگاشتKKM که توسط ناستر و کوراتوفسکی در سال ۱۹۲۲ بیان شد و معادل قضیه نقطه ثابت براور است. 
  7. تعمیم اصل KKM توسط فان برای فضاهای توپوژیک برداری ۱۹۶۱
  8. اثبات قضیه نقطه ثابت فان برای مجموعه های ابر محدب توسط خمسی ۱۹۹۶
  9. تعمیم نگاشت های KKM به نگاشت های GMKKM توسط کرک و سیمس ۲۰۰۰
  10. معرفی کلاسی از نگاشت‌های KKM(X,Y) و کابرد آن در نقطه ثابت و نظریه بازی توسط امینی ، فخار و زعفرانی در سال ۲۰۰۵، معرفی نگاشت های۲-KKM و ۲-KKM تعمیم یافته توسط چانگ و چنگ ۲۰۰۶
  11. امینی، دین، چانگ، هیوانگ، امداد، کریچ، لان، لین، کو، پارک، سعادت، شهزاد، ژانگ، ژائو، ون، وانگ و … (۲۰۱۱-۲۰۰۷)

د) نظریه نقطه ثابت در فضاهای متریک مخروطی

  1. تعریف فضای متریک مخروطی و اثبات بعضی از ویژگی‌ها در این فضا توسط هیوانگ و یان (۲۰۰۷) و رفع ایراد تعریف توسط رضاپور و حمل برانی (۲۰۰۸)
  2. گسترش سایر ویژگی‌ها روی فضای متریک مخروطی همراه با بیان کاربردها توسط رودز، جانگ، عباس، امینی، حقی، زعفرانی، فرجزاده، آیدی، رادنویچ، کریگ، فیلیپویچ، ستکویچ، جونگ، سانگ، آلتون، چن، چو، یانگ، چادوری، دو، فنگ، اسپینولا، ایزدی، کادلبرگ، شانتاوی، پارک، شهرزاد، الغندی، وانگ، ژانگ و … صورت گرفته است (۲۰۱۱-۲۰۰۸)

ه) مفاهیم نقطه ثابت در نیم‌گروه‌ها

  1. میانگین‌های پایا و خاصیت تقریبی نقطه ثابت برای نمایش‌های غیرانقباضی در نیم‌گروه‌های توپولوژیک توسط لائو (۱۹۹۶)
  2. نقطه ثابت و قضایای غیرخطی برای نیم‌گروههای نگاشت‌های غیرخطی توسط لائو (۲۰۰۱)
  3. نقطه ثابت مشترک برای نگاشت‌های انقباضی جابجایی توسط دمار (۱۹۶۳)
  4. زیرمیانگین‌‌های پایا و نیم‌گروه‌های نگاشت‌های غیرانقباضی روی فضاهای باناخ با ساختارهای نرمال توسط لائو (۱۹۹۶)
  5. خاصیت نقطه ثابت برای جبرهای باناخ گروه‌های موضعا فشرده و جبرهای فوریه گروه‌های موضعا فشرده (۲۰۱۰-۱۹۹۷)

 

 توجه داشته باشید که این تنها یک تاریخچه و مقدمه‌ای از نظریه نقطه ثابت به طور خلاصه می‌باشد. برای آگاهی از موضوعات جدید، مطالب و پیش‌نیازهایی که باید مطالعه گردد، مراجع و منابع مهم، مجلاتی علمی که در این شاخه به طور کلی یا جزئی فعالیت دارند، کنفرانس و سمینارهایی که در این زمینه برگزار می‌گردد پست‌های بعدی را مطالعه نمایید.

 

ادامه دارد……………..

 

تیم دکتر تدریس آمادگی دارد تا در موضوعات مرتبط با این نظریه، طرح‌های پژوهشی و تحقیقاتی، نگارش، ویرایش و ترجمه کتاب و مقاله، مشارکت داشته باشد. برای اطلاعات بیشتر به قسمت تماس با ما مراجعه کنید.

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

بایگانی شمسی
آمار بازدید
  • 998
  • 133,979